Teorema de Taylor

Veamos una aplicación del teorema de Taylor para la función Artgx

Arctgx = \int_0^x {\frac{1}{{1 + t^2 }}} dt

\frac{1}{{1 + t^2 }} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + ( - 1)^n t^{2n} + \frac{{( - 1)^{n + 1} t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}

Artgx = \int_0^x {1 - t^2 + t^4 - t^6 + ( - 1)^n t^{2n} dt + \int_0^x {\frac{{( - 1)^{n + 1} t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt} }

Artgx = x - \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{x^5 }}{5} + ( - 1)^n \frac{{x^{2n + 1} }}{{2n + 1}} + \int_0^x {\frac{{( - 1)^{n + 1} t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt}

Este será el polinomio de Taylor para Arctgx de grado 2n+1 en x=0 siempre que \lim \frac{{\int_0^x {\frac{{t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt} }}{{x^{2n + 1} }} = 0

Y esto ocurre puesto que \left| {\int_0^x {\frac{{t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt} } \right| \le \left| {\int_0^x {t^{2n + 2} dt} } \right| = \frac{{\left| x \right|^{2n + 3} }}{{2n + 3}}

Además cuando \left| x \right| \le 1 \Rightarrow \frac{{\left| x \right|^{2n + 3} }}{{2n + 3}} \le \frac{1}{{2n + 3}}

es decir podemos usar el polinomio de Taylor en estas condiciones para calcular Artgx con tanta precisión como se desee.

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