Probabilidad y Estadística

Combinatoria

Comenzamos recordando algunas fórmulas de combinatoria:

Variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n ( $n \le m$ ) a cada uno de los distintos grupos de n elementos escogidos entre los m, de forma que en cada grupo los n elementos son distintos y dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.

Características: influye el orden y no se repiten elementos

Fórmula: $V_{m,n}=m \cdot (m - 1)$ … (m-n+1)

Ejemplo: en una carrera de caballos participan 9 caballos. ¿De cuántas formas diferentes se podrían repartir las medallas de oro, plata y bronce?

Sol: $V_{9,3}=9 \cdot 8 \cdot 7=504$ formas

Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos de n elementos escogidos entre los m, de forma que en cada grupo hay n elementos repetidos o no y dos grupos son distintos si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.

Características: influye el orden y se pueden repetir elementos

Fórmula: $VR_{m,n}=m^n$

Ejemplo: en un quiniela de fútbol, ¿cuántas posibilidades distintas pueden darse?

Sol: $VR_{3,14}=3^{14}=4782969$ posibilidades

Permutaciones sin repetición son variaciones sin repetición de m elementos tomados de m en m.

Características: influye el orden y no se repiten elementos

Fórmula: $P_{n}=m \cdot (m - 1)$ … 1=m!

Ejemplo: ¿de cuántas formas distintas pueden sentarse 6 amigos en una fila de butacas de un cine?

Sol: $P_{6}=6 \cdot 5$ … 1=6!=720 formas

Permutaciones con repetición de m elementos entre los que hay a iguales entre sí, b iguales entre sí … r iguales entre sí (a+b+…+r=m) a todas las ordenaciones posibles de estos m elementos de forma que dos ordenaciones son distintas si difieren en el orden de colocación de algún elemento.

Características: influye el orden y se pueden repetir elementos.

Fórmula: $P_m ^{a,b,\cdot \cdot \cdot r}= \frac{{m!}}{{a!b!\cdot \cdot \cdot r!}}$

Ejemplo: ¿cuántas palabras de 6 letras se pueden formar con las letras ADSASS?

Sol: $P_6 ^{2,1,3}= \frac{{6!}}{{2!1!3!}}=60$ palabras

Combinaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n ( $n \le m$ ) a las distintas agrupaciones de n elementos de forma que en cada grupo entren n elementos distintos y dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

Características: no influye el orden y no se pueden repetir los elementos.

Fórmula: $C_{m,n}= \left( \begin{array}{l}m \\ n \\ \end{array} \right)$ $=\frac{{m!}}{{n!(m - n)!}}$
Ejemplo: posibles resultados en la lotería primitiva.

Sol: $C_{49,6}=\left( \begin{array}{l}49 \\ 6 \\ \end{array} \right)=\frac{{49!}}{{6!43!}} = 13983816$ posibles resultados

Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a las distintas agrupaciones de n elementos de forma que en cada grupo entren n elementos distintos o no y dos grupos son distintos si difieren en algún elemento.

Características: no influye el orden y se pueden repetir los elementos.

Fórmula: $CR_{m,n}= \left( \begin{array}{l}m+n-1 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,n \\ \end{array} \right)$