Teorema de Taylor

Veamos una aplicación del teorema de Taylor para la función Artgx

$Arctgx = \int_0^x {\frac{1}{{1 + t^2 }}} dt$

$\frac{1}{{1 + t^2 }} = 1 - t^2 + t^4 - t^6 + ( - 1)^n t^{2n} + \frac{{( - 1)^{n + 1} t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}$

$Artgx = \int_0^x {1 - t^2 + t^4 - t^6 + ( - 1)^n t^{2n} dt + \int_0^x {\frac{{( - 1)^{n + 1} t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt} }$

$Artgx = x - \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{x^5 }}{5} + ( - 1)^n \frac{{x^{2n + 1} }}{{2n + 1}} + \int_0^x {\frac{{( - 1)^{n + 1} t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt}$

Este será el polinomio de Taylor para Arctgx de grado 2n+1 en x=0 siempre que $\lim \frac{{\int_0^x {\frac{{t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt} }}{{x^{2n + 1} }} = 0$

Y esto ocurre puesto que $\left| {\int_0^x {\frac{{t^{2n + 2} }}{{1 + t^2 }}dt} } \right| \le \left| {\int_0^x {t^{2n + 2} dt} } \right| = \frac{{\left| x \right|^{2n + 3} }}{{2n + 3}}$